北大揭秘春晚劉謙魔術，背后其實是數學問題（附魔術步驟）

北大揭秘春晚劉謙魔術，背后其實是數學問題（附魔術步驟）

IT之家 2 月 11 日消息，劉謙在今年春晚表演的魔術引發網友熱議，對此，北京大學官方公眾號進行了詳細解讀，并揭秘背后的數學問題 ——“約瑟夫問題”。

魔術操作步驟：

• 步驟 1：將準備好的 4 張撲克牌平均撕成兩份，并疊在一起。

• 步驟 2：將牌堆頂數量為【名字字數】的牌移至牌堆底。

• 步驟 3：將前三張牌放在牌堆中間并取出牌堆頂的牌，放置在一旁。

• 步驟 4：取出牌堆頂的若干張牌插入牌堆中間，此處選擇的牌數為南方人取 1 張，北方人取 2 張，若不確定是南方人還是北方人取 3 張。

• 步驟 5：男生扔掉牌堆頂 1 張，女生扔掉牌堆頂 2 張。

• 步驟 6：執行“見證奇跡的時刻”循環，每說一個字，就取出牌堆頂一張牌放置在牌堆底。

• 步驟 7：從牌堆頂開始，每次先將牌堆頂的一張牌放在牌堆底，再扔掉牌堆頂的一張牌，重復以上操作直到只剩一張牌，檢查此牌和放置在一旁的牌是否吻合。若吻合，則魔術成功。

魔術步驟揭秘：

步驟一

我們令選擇的四張撲克牌分別為 1234，將他們分別撕開后，產生了標號分別為 1234 的兩套（半張）撲克牌，疊在一起后形成了從上至下標號分別為 12341234 的撲克牌堆。

▲ 圖源北京大學公眾號，下同

步驟二

此時我們可以注意到，無論我們將牌堆頂的多少張牌移到堆底，得到的撲克牌堆編號（IT之家注：從上至下）都只會有以下幾種結果：

12341234（名字字數被四整除）

23412341（名字字數模四余一）

34123412（名字字數模四余二）

41234123（名字字數模四余三）

觀察以上可能的牌堆，我們可以發現產生的牌堆都具有以下性質：

1. 前四張牌和后四張牌的順序完全一樣

2. 前四張牌和后四張牌分別是 1234 的一個輪換

步驟三

從這一步開始，我們只考慮當前牌堆中排在第四及第八的兩張牌，記為 X，其他牌記為 0。那么根據上一步的討論，可以得到當前的牌堆形如：000X000X。

將前三張放在牌堆中間后，無論這三張放在什么位置，最終產生的牌堆都將是：X000000X。

于是乎，被選擇的用于配對的牌就將是 X，而另一張與之配對的牌（稱為目標牌）將位于牌堆底。

步驟四

在上一步之后，牌堆的編號為 000000X，于是，無論本輪中選擇牌堆頂多少張牌插入牌堆中，都不會影響目標牌的位置，仍然處于牌堆底部。

步驟五

此時男生的牌堆為：00000X。女生的牌堆為：0000X。

步驟六

通過嘗試可知，在經過步驟六后將得到如下的牌堆：

男生：0000X0

女生：00X00

步驟七

到此，便完成劉謙本次魔術的步驟揭秘，北京大學進一步解釋稱這其實是一個“約瑟夫問題”：

設有編號為 1，2，……，n 的 n 個人圍成一個圈，從第 1 個人開始報數，報到 m 時停止報數，報 m 的人出圈。再從他的下一個人起重新報數，報到 m 時停止報數，報 m 的出圈...... 按照這個規則進行下來，直到所有人全部出圈為止。求最后留下來的人編號。

為了使問題簡化，我們考慮 n 個人編號為 0 ~ n1 的情況，每 m 個人退出一個人，我們稱之為（n,m）問題。第一個人（即編號為在模 n 下同余 m 的人）退出之后，對剩下的 n1 個人重新編號，則新問題的 k 號在原問題中對應 k+m 號。因此（n, m）問題的解 J (n, m) = J (n1, m)+m 且 J (1, m) = 1（模 n 意義下）。據此，通過遞推的方法可以得到 J (n, m)。在實踐中，約瑟夫問題一般用代碼進行求解。劉謙的魔術中使用的便是 m=2 的特殊情況。