北大同學為你揭秘春晚魔術！

來源：北京大學微信公眾號

大年三十

一家人圍坐在一起訴說著團圓

除了餐桌上美味的年夜飯

當然還少不了精彩的春晚節目

在今年的春晚里

魔術師劉謙表演了

一個與紙牌相關的魔術

其精妙的設計帶給觀眾極高的參與感

許多人紛紛拿出家中的撲克牌

跟著劉謙一起“見證奇跡”

全國無數人都成功地將

手中的撲克牌對上了

然而，眼尖的觀眾發現

主持人尼格買提·熱合曼

失敗了……

魔術表演結束后

北大法學院校友、春晚主持人撒貝寧

直接戳穿

讓全國網友都知道了

“小尼的撲克牌沒對上?！?/p>

相關話題瞬間爆上熱搜

這個魔術“奇跡”的背后

有著怎樣的奧秘？

當春晚還在進行中

北京大學數學科學學院

2021級本科生劉明昊、李新宇、殷子縈

2022級本科生王秭如、黃天銘、王美潭

2023級本科生潘浩翔、王偉圣

便在北京大學數學科學學院學生會的

微信公眾號上推出一篇科普文章

從數學的角度

帶大家感受這一魔術的魅力

該文章被新華每日電訊

微信公眾號截圖報道

△參與文章編輯的同學在新華每日電訊報道后留言

接下來，讓我們一起

深入學習學習這個魔術吧

魔 術 步 驟

首先，準備4張撲克牌

跟隨魔術步驟

來一起“見證奇跡”

步驟1

將準備好的4張撲克牌

平均撕成兩份

并疊在一起

步驟2

將牌堆頂數量為

【名字字數】的牌

移至牌堆底

步驟 3

將前三張牌放在牌堆中間

并取出牌堆頂的牌

放置在一旁

步驟 4

取出牌堆頂的若干張牌

插入牌堆中間

此處選擇的牌數為

南方人取1張，北方人取2張

若不確定是南方人還是北方人取3張

步驟 5

男生扔掉牌堆頂1張

女生扔掉牌堆頂2張

步驟 6

執行“見證奇跡的時刻”循環

每說一個字

就取出牌堆頂一張牌放置在牌堆底

步驟 7

執行如下操作↓

從牌堆頂開始

每次先將牌堆頂的一張牌放在牌堆底

再扔掉牌堆頂的一張牌

重復以上操作直到只剩一張牌

檢查此牌和放置在一旁的牌是否吻合

若吻合，則魔術成功

魔 術 揭 秘

怎么樣，你的撲克牌對上了嗎？

下面，小北將按照步驟順序

一步步為你揭秘背后的邏輯

步驟一

我們令選擇的四張撲克牌分別為1234，將他們分別撕開后，產生了標號分別為1234的兩套（半張）撲克牌，疊在一起后形成了從上至下標號分別為12341234的撲克牌堆。

步驟二

此時我們可以注意到，無論我們將牌堆頂的多少張牌移到堆底，得到的撲克牌堆編號（從上至下）都只會有以下幾種結果：

12341234（名字字數被四整除）

23412341（名字字數模四余一）

34123412（名字字數模四余二）

41234123（名字字數模四余三）

觀察以上可能的牌堆，我們可以發現產生的牌堆都具有以下性質：

1. 前四張牌和后四張牌的順序完全一樣

2. 前四張牌和后四張牌分別是1234的一個輪換

步驟三

從這一步開始，我們只考慮當前牌堆中排在第四及第八的兩張牌，記為X，其他牌記為0。那么根據上一步的討論，可以得到當前的牌堆形如：

000X000X

將前三張放在牌堆中間后，無論這三張放在什么位置，最終產生的牌堆都將是：

X000000X

于是乎，被選擇的用于配對的牌就將是X，而另一張與之配對的牌（稱為目標牌）將位于牌堆底。

步驟四

在上一步之后，牌堆的編號為000000X，于是，無論本輪中選擇牌堆頂多少張牌插入牌堆中，都不會影響目標牌的位置，仍然處于牌堆底部。

步驟五

此時男生的牌堆為：00000X

女生的牌堆為：0000X

步驟六

通過嘗試可知，在經過步驟六后將得到如下的牌堆：

男生：0000X0

女生：00X00

步驟七

通過上述揭秘

相信大家不難看出

這個魔術的背后

其實是一個數學上的問題

它被稱為約瑟夫問題

約瑟夫問題

設有編號為1，2，......，n的n個人圍成一個圈，從第1個人開始報數，報到m時停止報數，報m的人出圈。再從他的下一個人起重新報數，報到m時停止報數，報m的出圈......按照這個規則進行下來，直到所有人全部出圈為止。求最后留下來的人編號。

為了使問題簡化，我們考慮n個人編號為0 ~ n1的情況，每 m 個人退出一個人，我們稱之為（n, m）問題。

第一個人（即編號為在模n下同余m的人）退出之后，對剩下的 n1 個人重新編號，則新問題的k號在原問題中對應 k+m 號。因此（n, m）問題的解 J (n, m) = J (n1, m)+m 且 J (1, m) = 1（模n意義下）。據此，通過遞推的方法可以得到 J (n, m)。

在實踐中，約瑟夫問題一般用代碼進行求解。劉謙的魔術中使用的便是 m=2 的特殊情況。

驚 喜 彩 蛋

主持人尼格買提·熱合曼

為什么失敗

一起來看看背后的原因

根據上面的證明過程，我們不難發現：在步驟3與步驟4中，如果操作正確，每位主持人手中最底部的一張牌沒有變化，而這恰好是步驟7后留下的一張牌。

然而，在進行步驟4時，注意尼格買提的手上動作：

鏡頭捕捉到插入過程中，原本位于底部的牌面花紋被另一張牌覆蓋，也就是說，尼格買提并未按要求將兩張牌放入中間位置，從而導致他最終匹配的失敗。

春晚的魔術表演

不僅展示了魔術的神秘

也激發了我們對數學智慧的思考

希望大家盡情享受

魔術和數學帶給大家的快樂

除此之外

生活中仍不乏有許多與數學相關的趣事

來源 | 北京大學融媒體中心、北京大學數學科學學院、新華每日電訊

圖片丨北京大學數學科學學院、受訪者提供