北大同學(xué)為你揭秘春晚魔術(shù)！

來(lái)源：北京大學(xué)微信公眾號(hào)

大年三十

一家人圍坐在一起訴說(shuō)著團(tuán)圓

除了餐桌上美味的年夜飯

當(dāng)然還少不了精彩的春晚節(jié)目

在今年的春晚里

魔術(shù)師劉謙表演了

一個(gè)與紙牌相關(guān)的魔術(shù)

其精妙的設(shè)計(jì)帶給觀眾極高的參與感

許多人紛紛拿出家中的撲克牌

跟著劉謙一起“見(jiàn)證奇跡”

全國(guó)無(wú)數(shù)人都成功地將

手中的撲克牌對(duì)上了

然而，眼尖的觀眾發(fā)現(xiàn)

主持人尼格買提·熱合曼

失敗了……

魔術(shù)表演結(jié)束后

北大法學(xué)院校友、春晚主持人撒貝寧

直接戳穿

讓全國(guó)網(wǎng)友都知道了

“小尼的撲克牌沒(méi)對(duì)上。”

相關(guān)話題瞬間爆上熱搜

這個(gè)魔術(shù)“奇跡”的背后

有著怎樣的奧秘？

當(dāng)春晚還在進(jìn)行中

北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院

2021級(jí)本科生劉明昊、李新宇、殷子縈

2022級(jí)本科生王秭如、黃天銘、王美潭

2023級(jí)本科生潘浩翔、王偉圣

便在北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院學(xué)生會(huì)的

微信公眾號(hào)上推出一篇科普文章

從數(shù)學(xué)的角度

帶大家感受這一魔術(shù)的魅力

該文章被新華每日電訊

微信公眾號(hào)截圖報(bào)道

△參與文章編輯的同學(xué)在新華每日電訊報(bào)道后留言

接下來(lái)，讓我們一起

深入學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)這個(gè)魔術(shù)吧

魔 術(shù) 步 驟

首先，準(zhǔn)備4張撲克牌

跟隨魔術(shù)步驟

來(lái)一起“見(jiàn)證奇跡”

步驟1

將準(zhǔn)備好的4張撲克牌

平均撕成兩份

并疊在一起

步驟2

將牌堆頂數(shù)量為

【名字字?jǐn)?shù)】的牌

移至牌堆底

步驟 3

將前三張牌放在牌堆中間

并取出牌堆頂?shù)呐?/p>

放置在一旁

步驟 4

取出牌堆頂?shù)娜舾蓮埮?/p>

插入牌堆中間

此處選擇的牌數(shù)為

南方人取1張，北方人取2張

若不確定是南方人還是北方人取3張

步驟 5

男生扔掉牌堆頂1張

女生扔掉牌堆頂2張

步驟 6

執(zhí)行“見(jiàn)證奇跡的時(shí)刻”循環(huán)

每說(shuō)一個(gè)字

就取出牌堆頂一張牌放置在牌堆底

步驟 7

執(zhí)行如下操作↓

從牌堆頂開始

每次先將牌堆頂?shù)囊粡埮品旁谂贫训?/p>

再扔掉牌堆頂?shù)囊粡埮?/p>

重復(fù)以上操作直到只剩一張牌

檢查此牌和放置在一旁的牌是否吻合

若吻合，則魔術(shù)成功

魔 術(shù) 揭 秘

怎么樣，你的撲克牌對(duì)上了嗎？

下面，小北將按照步驟順序

一步步為你揭秘背后的邏輯

步驟一

我們令選擇的四張撲克牌分別為1234，將他們分別撕開后，產(chǎn)生了標(biāo)號(hào)分別為1234的兩套（半張）撲克牌，疊在一起后形成了從上至下標(biāo)號(hào)分別為12341234的撲克牌堆。

步驟二

此時(shí)我們可以注意到，無(wú)論我們將牌堆頂?shù)亩嗌購(gòu)埮埔频蕉训祝玫降膿淇伺贫丫幪?hào)（從上至下）都只會(huì)有以下幾種結(jié)果：

12341234（名字字?jǐn)?shù)被四整除）

23412341（名字字?jǐn)?shù)模四余一）

34123412（名字字?jǐn)?shù)模四余二）

41234123（名字字?jǐn)?shù)模四余三）

觀察以上可能的牌堆，我們可以發(fā)現(xiàn)產(chǎn)生的牌堆都具有以下性質(zhì)：

1. 前四張牌和后四張牌的順序完全一樣

2. 前四張牌和后四張牌分別是1234的一個(gè)輪換

步驟三

從這一步開始，我們只考慮當(dāng)前牌堆中排在第四及第八的兩張牌，記為X，其他牌記為0。那么根據(jù)上一步的討論，可以得到當(dāng)前的牌堆形如：

000X000X

將前三張放在牌堆中間后，無(wú)論這三張放在什么位置，最終產(chǎn)生的牌堆都將是：

X000000X

于是乎，被選擇的用于配對(duì)的牌就將是X，而另一張與之配對(duì)的牌（稱為目標(biāo)牌）將位于牌堆底。

步驟四

在上一步之后，牌堆的編號(hào)為000000X，于是，無(wú)論本輪中選擇牌堆頂多少?gòu)埮撇迦肱贫阎校疾粫?huì)影響目標(biāo)牌的位置，仍然處于牌堆底部。

步驟五

此時(shí)男生的牌堆為：00000X

女生的牌堆為：0000X

步驟六

通過(guò)嘗試可知，在經(jīng)過(guò)步驟六后將得到如下的牌堆：

男生：0000X0

女生：00X00

步驟七

通過(guò)上述揭秘

相信大家不難看出

這個(gè)魔術(shù)的背后

其實(shí)是一個(gè)數(shù)學(xué)上的問(wèn)題

它被稱為約瑟夫問(wèn)題

約瑟夫問(wèn)題

設(shè)有編號(hào)為1，2，......，n的n個(gè)人圍成一個(gè)圈，從第1個(gè)人開始報(bào)數(shù)，報(bào)到m時(shí)停止報(bào)數(shù)，報(bào)m的人出圈。再?gòu)乃南乱粋€(gè)人起重新報(bào)數(shù)，報(bào)到m時(shí)停止報(bào)數(shù)，報(bào)m的出圈......按照這個(gè)規(guī)則進(jìn)行下來(lái)，直到所有人全部出圈為止。求最后留下來(lái)的人編號(hào)。

為了使問(wèn)題簡(jiǎn)化，我們考慮n個(gè)人編號(hào)為0 ~ n1的情況，每 m 個(gè)人退出一個(gè)人，我們稱之為（n, m）問(wèn)題。

第一個(gè)人（即編號(hào)為在模n下同余m的人）退出之后，對(duì)剩下的 n1 個(gè)人重新編號(hào)，則新問(wèn)題的k號(hào)在原問(wèn)題中對(duì)應(yīng) k+m 號(hào)。因此（n, m）問(wèn)題的解 J (n, m) = J (n1, m)+m 且 J (1, m) = 1（模n意義下）。據(jù)此，通過(guò)遞推的方法可以得到 J (n, m)。

在實(shí)踐中，約瑟夫問(wèn)題一般用代碼進(jìn)行求解。劉謙的魔術(shù)中使用的便是 m=2 的特殊情況。

驚 喜 彩 蛋

主持人尼格買提·熱合曼

為什么失敗

一起來(lái)看看背后的原因

根據(jù)上面的證明過(guò)程，我們不難發(fā)現(xiàn)：在步驟3與步驟4中，如果操作正確，每位主持人手中最底部的一張牌沒(méi)有變化，而這恰好是步驟7后留下的一張牌。

然而，在進(jìn)行步驟4時(shí)，注意尼格買提的手上動(dòng)作：

鏡頭捕捉到插入過(guò)程中，原本位于底部的牌面花紋被另一張牌覆蓋，也就是說(shuō)，尼格買提并未按要求將兩張牌放入中間位置，從而導(dǎo)致他最終匹配的失敗。

春晚的魔術(shù)表演

不僅展示了魔術(shù)的神秘

也激發(fā)了我們對(duì)數(shù)學(xué)智慧的思考

希望大家盡情享受

魔術(shù)和數(shù)學(xué)帶給大家的快樂(lè)

除此之外

生活中仍不乏有許多與數(shù)學(xué)相關(guān)的趣事

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圖片丨北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院、受訪者提供