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前沿拓展：

作者 | 阿蒂亞(Sir Michael Francis Atiyah)

來(lái)源 |《數(shù)學(xué)與物理最前沿》

邁克爾·阿蒂亞爵士（Sir Michael Francis Atiyah，1929年4月22日~2019年1月11日），英國(guó)數(shù)學(xué)家，畢業(yè)于劍橋大學(xué)三一學(xué)院，前英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)長(zhǎng)，被譽(yù)為20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一。

邁克爾·阿蒂亞出生于英國(guó)倫敦，童年時(shí)代在中東地區(qū)度過(guò)，1945年跟隨家人移居英國(guó)，之后以前三名的成績(jī)考入劍橋大學(xué)三一學(xué)院。1955年獲得博士學(xué)位，畢業(yè)后在普林斯頓高等研究院、劍橋大學(xué)彭布羅克學(xué)院、牛津大學(xué)等學(xué)術(shù)機(jī)構(gòu)研究、任教，并在1962年成為英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員。

邁克爾·阿蒂亞爵士的主要研究領(lǐng)域是幾何，而到20世紀(jì)70年代他把重心轉(zhuǎn)移到數(shù)學(xué)物理學(xué)上。 1960年代他與艾沙道爾·辛格建立合作關(guān)系，共同證明了阿蒂亞辛格指標(biāo)定理，該定理在數(shù)學(xué)的一些領(lǐng)域均有重要作用。因此他在1966年榮獲菲爾茲獎(jiǎng)，2004年又與艾沙道爾·辛格共同獲得阿貝爾獎(jiǎng)。除此之外，邁克爾·阿蒂亞爵士在拓?fù)洹⑽⒎址匠獭?shù)學(xué)物理、代數(shù)等領(lǐng)域也有杰出成就。1983年，被英國(guó)皇室授予下級(jí)勛位爵士。1992年，獲得英國(guó)功績(jī)勛章。

“數(shù)學(xué)，是發(fā)明還是發(fā)現(xiàn)?”，這是一個(gè)相當(dāng)富哲學(xué)性的題目。這個(gè)題目并非專(zhuān)為數(shù)學(xué)家而設(shè)，而是適合更廣泛的讀者。我們真正關(guān)心的，是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界及其他事情之間的關(guān)系。

數(shù)學(xué)可以說(shuō)是處于藝術(shù)和科學(xué)之間的學(xué)科，而數(shù)學(xué)和科學(xué)的關(guān)系，幾乎人所共知。例如牛頓、麥克斯韋(James Clerk Maxwell)和愛(ài)因斯坦所提出的理論，是建基于很堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之上。反過(guò)來(lái)，科學(xué)家的觀察和理論驗(yàn)證，又對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生很大的影響。然而，數(shù)學(xué)與藝術(shù)之間的關(guān)系，便不是那樣顯而易見(jiàn)了。

數(shù)學(xué)是藝術(shù)也是科學(xué)

人們認(rèn)為，藝術(shù)和數(shù)學(xué)是兩碼子事，其實(shí)兩者之間是有關(guān)聯(lián)的。首先，數(shù)學(xué)是建基于邏輯——嚴(yán)密的邏輯思維。在哲學(xué)領(lǐng)域里，同樣也十分注重邏輯和思考分析。例如，兩位在不同年代的偉大哲學(xué)家，古希臘的柏拉圖和近代的羅素，他們亦為數(shù)學(xué)家，因?yàn)槎说乃枷攵疾捎么罅繑?shù)學(xué)語(yǔ)言，無(wú)可置疑，邏輯屬于哲學(xué)的一部分。

同時(shí)，邏輯也是建構(gòu)藝術(shù)的基礎(chǔ)。

當(dāng)我們說(shuō)到某些藝術(shù)的項(xiàng)目，如繪畫(huà)，便會(huì)趣用到很多透視的方法，也即是空間里的三維觀點(diǎn);透視圓法，亦被視為繪畫(huà)藝術(shù)發(fā)展的一大發(fā)現(xiàn)。又例如音樂(lè)，音樂(lè)使用了音符作為基礎(chǔ)，但當(dāng)中的和弦其實(shí)是一種十分精確和美妙的數(shù)學(xué)形式，這也表現(xiàn)出藝術(shù)和數(shù)學(xué)的關(guān)系。建筑學(xué)追求的是建筑物的美，這取決于建筑物本身的比例和規(guī)模等;無(wú)論是幾何學(xué)，或幾何學(xué)建筑，都是建筑學(xué)中的十分重要的部分。

數(shù)學(xué)與大量藝術(shù)項(xiàng)目之間的關(guān)系可謂千絲萬(wàn)縷。概言之，藝術(shù)就是主觀的美。在物理學(xué)，對(duì)美的追求，是來(lái)源于藝術(shù)的基本概念。同樣，對(duì)美的追求，在數(shù)學(xué)亦是重要的環(huán)節(jié);因此可以說(shuō)，數(shù)學(xué)既是藝術(shù)，也是科學(xué)。

科學(xué)和藝術(shù)之間的區(qū)別，可以這樣加以闡釋——科學(xué)家孜孜不倦去鉆研和發(fā)現(xiàn)在他眼前的世界，借著科學(xué)我們可以發(fā)現(xiàn)事物的真相和自然世界的法則，比如科學(xué)家發(fā)現(xiàn)了高溫超導(dǎo)電性，這個(gè)發(fā)現(xiàn)就是建基于從觀察中得出的論據(jù)。另一方面，藝術(shù)則是人類(lèi)的一種創(chuàng)作。人在思考中，獲得了重要的發(fā)現(xiàn)和感悟，這個(gè)發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)并非建立在理性思考，而是在感情上。

表面上，藝術(shù)和科學(xué)是根本上相逆的東西，但事實(shí)并非如此。

數(shù)學(xué)模型來(lái)自思維概念

讓我從人類(lèi)發(fā)展的歷史，回溯到數(shù)千年前，現(xiàn)實(shí)世界和人類(lèi)之間有什么關(guān)聯(lián)。什么是現(xiàn)實(shí)世界?它意味著什么?當(dāng)時(shí)的人類(lèi)是如何思考這個(gè)世界?我們不理解現(xiàn)實(shí)世界，也不理解思維，更不理解它們之間的關(guān)系。

這是其中一個(gè)重要的哲學(xué)問(wèn)題。當(dāng)然，哲學(xué)問(wèn)題并不必然有確切的答案。我們能通過(guò)提出問(wèn)題，從中學(xué)習(xí)獲得智慧，但卻永不能得到一個(gè)確切的答案。因此，古今哲學(xué)家為了一個(gè)哲學(xué)問(wèn)題，而消磨了上千年時(shí)間。事實(shí)上，人類(lèi)提出科學(xué)理論，是把我們所觀察到的事物，以一個(gè)模型或框架去理解、解釋和發(fā)展規(guī)律。這樣，在某種程度上，科學(xué)理論和數(shù)學(xué)模型十分類(lèi)似。它們都是人類(lèi)思維內(nèi)的概念，我們可將這些概念，加諸在外間所觀察的事物，好以理解它們。

因此，在某程度上，科學(xué)有兩個(gè)部分，包括外間實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)，以及人類(lèi)內(nèi)在思維所得的數(shù)學(xué)模型，并嘗試把兩者融合起來(lái)，得到一個(gè)整體的認(rèn)識(shí)。同樣的，藝術(shù)也有兩個(gè)部分。一、源于藝術(shù)家發(fā)自?xún)?nèi)在感受的創(chuàng)作，二、在外在物理上所受到的約束。例如，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和建筑物的透視點(diǎn)都受到來(lái)自外在的約束，是藝術(shù)家不能置之不理的。

所以，藝術(shù)家應(yīng)用他們的創(chuàng)作，但也是生活在各種已被發(fā)現(xiàn)的“框架”之內(nèi)，所謂“魚(yú)在水中，水也在魚(yú)中”。在某程度上，藝術(shù)和科學(xué)都分享著同樣的特性，就是它們?cè)凇鞍l(fā)現(xiàn)”這些框架，并在這框架之內(nèi)進(jìn)行各種創(chuàng)作。

這框架是科學(xué)所仗賴(lài)的數(shù)據(jù)，或是我們研究能力所及的范圍。藝術(shù)家同樣面對(duì)框架，但他們嘗試把自己的意念形象化。理性和感性是科學(xué)的基礎(chǔ)，也是藝術(shù)的基礎(chǔ)，但大多數(shù)人都認(rèn)為，二者是河水不犯井水，甚至風(fēng)馬牛不相及。然而，從近年有關(guān)人腦的研究，我們知悉了一些令人振奮的成果，它顯示出人腦中理性和感性，彼此相互影響著“你中有我，我中有你”。或許，我們能在將來(lái)對(duì)這方面知道更多，了解更多。所以，數(shù)學(xué)是藝術(shù)也是科學(xué)。

柏拉圖世界是早已存在還是創(chuàng)造出來(lái)的?

讓我們嘗試從多種方法去說(shuō)明這兩個(gè)方面。問(wèn)題在于，數(shù)學(xué)家所發(fā)現(xiàn)的東西，是存在于現(xiàn)實(shí)世界中?還是存在于柏拉圖式的理想世界?柏拉圖用他構(gòu)想的概念來(lái)理解數(shù)學(xué)，例如，他認(rèn)為圓形可以是完美的。但完美的圓，在現(xiàn)實(shí)世界中從不存在，所有我們所畫(huà)的圓形，總會(huì)帶點(diǎn)棱角。

事實(shí)上，完美的圓形只是一種想法。我們現(xiàn)在稱(chēng)柏拉圖式的世界，確實(shí)是一種想法，一個(gè)理想世界。在現(xiàn)實(shí)世界中，我們見(jiàn)到的圓形，只是柏拉圖理想世界的一種想法、反映和替代。但也有人相信，柏拉圖世界確實(shí)存在，在那里，所有偉大的數(shù)學(xué)想法都能完美地、和諧地共存。然而，現(xiàn)實(shí)世界里竟存在著雜亂，于是科學(xué)家便以某些方法，把現(xiàn)實(shí)世界和想像世界兩者合并。

接下來(lái)，大家也許會(huì)問(wèn):究竟柏拉圖式的世界是否從一開(kāi)始就存在，只待我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)嗎?抑或純粹是人類(lèi)智慧所創(chuàng)造的?它是一件發(fā)明還是一次發(fā)現(xiàn)?也就是說(shuō)，我們發(fā)明了柏拉圖式的世界，接著，這個(gè)理想世界反映了現(xiàn)實(shí)世界。

這是一個(gè)已存在了上千年的疑問(wèn)。這正是一條我們可以辯論，卻會(huì)獲得不同答案的問(wèn)題。一般來(lái)說(shuō)，我們從一些基礎(chǔ)層面的例子去探討這些問(wèn)題，會(huì)比進(jìn)行抽象層面的哲學(xué)討論，會(huì)更加有效。因此，我將透過(guò)一些簡(jiǎn)單的例子，去討論這個(gè)問(wèn)題:數(shù)學(xué)是一種發(fā)明，或是發(fā)現(xiàn)?

在進(jìn)一步討論之前，讓我指出一點(diǎn)。香港是一個(gè)以商業(yè)為本的城市。許多人們來(lái)到大學(xué)念書(shū)或教書(shū)，都難免考慮到金錢(qián)和物質(zhì)的問(wèn)題。從這方面來(lái)說(shuō)，發(fā)明和發(fā)現(xiàn)之間的一個(gè)主要區(qū)別，就是透過(guò)發(fā)明可以獲得專(zhuān)利權(quán)，從中可以賺取金錢(qián)，而發(fā)現(xiàn)卻不是。例如，馬克士威引進(jìn)了電磁學(xué)理論，如果他發(fā)現(xiàn)的公式可以取得專(zhuān)利，恐怕他已經(jīng)和微軟的蓋茨一樣富有了。但是，你不能為自己所發(fā)現(xiàn)的東西取得專(zhuān)利權(quán)。人類(lèi)基因組是近期另一個(gè)例子，并且引起了許多爭(zhēng)論，比如說(shuō)，我們能否為人類(lèi)基因的發(fā)現(xiàn)而取得專(zhuān)利?因?yàn)檫@個(gè)題目涉及龐大的利益，所以經(jīng)常引起廣泛的爭(zhēng)論。因此，這是一項(xiàng)發(fā)明還是發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題，不純?nèi)皇且粋€(gè)哲學(xué)議題，也引起了強(qiáng)烈的商業(yè)回響和爭(zhēng)論。

現(xiàn)在，讓我先以柏拉圖和希臘人的數(shù)學(xué)概念作為我們討論的一個(gè)例子。柏拉圖感興趣的其中一個(gè)問(wèn)題，是著名的“正多面體”，也被稱(chēng)為“柏拉圖立體”。“正多面體”有 5 個(gè):

正四面體，由4 個(gè)三角形組成;

正六面體，即正立方體;

正八面體，即一個(gè)雙金字塔;

正十二面體，每一個(gè)面皆是正五邊形;

正二十面體，每一個(gè)面皆是等邊三角形。

一個(gè)正四面體有4個(gè)頂點(diǎn)，6 條邊和4個(gè)面;

正方體有 8 個(gè)頂點(diǎn)，12 條邊和 6 個(gè) 面;

正二十面體，有20 個(gè)三角形的表面，12 個(gè)頂點(diǎn)，和30條邊。同時(shí)，它們成雙出現(xiàn)，就是面的數(shù)目和頂點(diǎn)的數(shù)目，可以互相交替，稱(chēng)為對(duì)偶。首要的問(wèn)題是，像正二十面體或其他立體的這些物體，究竟是被發(fā)現(xiàn)還是被發(fā)明出來(lái)?

你可以爭(zhēng)論:立方體是一件明顯存在于周?chē)械臇|西，就像方糖一樣;而四面體或許也是這樣。但是，于大自然中找到正二十面體卻十分困難。我不認(rèn)為它們以任何形式存在，所以，正二十面體看來(lái)更加像是一件人類(lèi)的發(fā)明。雖然它的存在歸功于柏拉圖，但我發(fā)現(xiàn)事實(shí)上在公元前2000年，即4000年前的蘇格蘭，便存在著正二十面體和所有5個(gè)正多邊形立體。這比柏拉圖的年代更早出現(xiàn)，至少比柏拉圖早了千年。這些可能是文物的石塊，出現(xiàn)于蘇格蘭還沒(méi)發(fā)展出高度文明的一個(gè)時(shí)代里，而當(dāng)時(shí)已經(jīng)有人研究出如何做出全部五個(gè)立體。

球體內(nèi)接多面體的奧秘

起初，我估計(jì)它是個(gè)某時(shí)某地某些天才做出來(lái)的個(gè)別例子，但似乎還不止如此，因?yàn)槟抢镉袛?shù)以百計(jì)這樣的石塊，遍及整個(gè)蘇格蘭。因?yàn)槟承┪粗脑颍?dāng)時(shí)有人發(fā)現(xiàn)這些石塊，并對(duì)它們愛(ài)不釋手，然后更受到整個(gè)社會(huì)的重視。這是一次十分重要的觀察，迄今為止，在一個(gè)沒(méi)有已知文字或文明的古代竟然有古人發(fā)明這些數(shù)學(xué)物體，實(shí)在令人百思不得其解。當(dāng)然，我并不知道這是否最遠(yuǎn)古的例子。或許在4000年前的中國(guó)，也有人曾經(jīng)發(fā)現(xiàn)正二十面體，但至少迄今為止，蘇格蘭仍保持這項(xiàng)記錄。

到了今天，我們發(fā)現(xiàn)了當(dāng)中一些奧秘，這些數(shù)字之間存在一些簡(jiǎn)單的關(guān)系。這些立體的數(shù)學(xué)關(guān)系是歐拉(Leonhard Euler)發(fā)現(xiàn)的，被稱(chēng)為“歐拉公式”。

F+VE=2:頂點(diǎn)(V)的數(shù)目減去邊(E)的數(shù)目加上面(F)的數(shù)目等于2。

從這五個(gè)例子，我們很容易便能得出這個(gè)簡(jiǎn)單的關(guān)系。但歐拉想得更深，他觀察出的規(guī)律，不僅能套用到柏拉圖立體上，更能套用到所有球體內(nèi)接的立體上，所有這些立體的數(shù)字之間都能符合這種關(guān)系。討論至此，你也許會(huì)問(wèn)，這是一種發(fā)現(xiàn)，還是一件發(fā)明?我偶能找到更多，但能將這個(gè)公式應(yīng)用得多遠(yuǎn)?

結(jié)果，它成為數(shù)學(xué)里一個(gè)十分重要的公式。數(shù)百年來(lái)，這公式有不同的演變，但它仍然是數(shù)學(xué)中的核心部分。事實(shí)上，中國(guó)數(shù)學(xué)家陳省身教授的研究工作，都與這公式有密切關(guān)系。如果我們能在自然界中發(fā)現(xiàn)這些公式，就能看得見(jiàn)這些事物。如果二十面體是你發(fā)明的，你就是發(fā)明了這條公式。

這就是有關(guān)發(fā)現(xiàn)還是發(fā)明的討論的第一個(gè)例子。

有多少數(shù)是上帝的創(chuàng)造?

讓我回溯得更遠(yuǎn)。數(shù)學(xué)中，最原始的是什么?數(shù)學(xué)是從哪兒開(kāi)始?也許你會(huì)回答:由數(shù)和計(jì)算開(kāi)始，1、2、3、4、5.....一堆整數(shù)。著名的德國(guó)數(shù)學(xué)家克羅內(nèi)克(Leopold Kronecker)說(shuō):“整數(shù)是上帝創(chuàng)造的，其余都是由人所湊成”。人類(lèi)發(fā)現(xiàn)了整數(shù)，又制造所有其他的東西。

第一個(gè)問(wèn)題是，0又如何呢?0也是一個(gè)整數(shù)。在1之前，首先是0。0無(wú)疑也是一個(gè)重要的整數(shù)。它是一件發(fā)明，還是一種發(fā)現(xiàn)?0早就存在，抑或是我們的發(fā)明?我真想說(shuō)0是一個(gè)發(fā)明，但事實(shí)上這是個(gè)很難處理的問(wèn)題。

然后是十進(jìn)位的標(biāo)記法。當(dāng)我們開(kāi)始寫(xiě)下數(shù)，就是在組織數(shù)。同時(shí)，十進(jìn)位的標(biāo)記法是在數(shù)學(xué)中一個(gè)十分重要的部分。它當(dāng)然不是一早就出現(xiàn)的，羅馬人寫(xiě)了一個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)系統(tǒng)。在我來(lái)香港講學(xué)暫住的飯店房間里，書(shū)桌上放了一個(gè)日歷，上面印著小小的中文數(shù)，但這些數(shù)我看不懂，對(duì)我來(lái)說(shuō)，它們就像羅馬數(shù)一樣。但無(wú)論如何，十進(jìn)位的記數(shù)法是偉大發(fā)展的一步。有時(shí)候我會(huì)嘗試認(rèn)為它是一個(gè)發(fā)明，但是你也許會(huì)說(shuō)數(shù)早就存在了，上帝所發(fā)明的世界早就如此，只是我們后來(lái)才發(fā)現(xiàn)它罷了。

再進(jìn)一步討論下去。數(shù)學(xué)家對(duì)整數(shù)又做了些什么?是的，數(shù)學(xué)家有時(shí)會(huì)埋首于有趣的事情上，他們并非對(duì)所有數(shù)都有興趣，卻去深究質(zhì)數(shù)，質(zhì)數(shù)是不能被分解成其他因數(shù)的整數(shù)。我都知道，6是2乘3的積。但如果將不可分解成因數(shù)的數(shù)字依次寫(xiě)出來(lái)，它們是2、3、5、7、11、13，可以無(wú)窮無(wú)盡地寫(xiě)下去;只是，數(shù)學(xué)家很難找到一個(gè)規(guī)則去描寫(xiě)出它們的全貌。專(zhuān)門(mén)研究數(shù)論的數(shù)學(xué)家喜歡質(zhì)數(shù)，因?yàn)樵诜治稣麛?shù)的過(guò)程中，你可以將所有整數(shù)分解成質(zhì)數(shù)的積。因此，質(zhì)數(shù)可以被當(dāng)成是整數(shù)的構(gòu)件部分。構(gòu)件往往具有引人入勝的吸引力，如果想了解某事物的結(jié)構(gòu)，你將要仔細(xì)觀察它的構(gòu)件，從構(gòu)件揭開(kāi)它的面紗。原子是物質(zhì)的構(gòu)件，所以質(zhì)數(shù)是算術(shù)的構(gòu)件。

2的平方根是個(gè)什么樣的數(shù)?

那么，長(zhǎng)度又如何?長(zhǎng)度是數(shù)，例如1、2、3、4、5，都是數(shù)。長(zhǎng)度由數(shù)代表，而數(shù)又代表了長(zhǎng)度單位?假如你拿一把尺子、一條繩或其他，你可標(biāo)出它的長(zhǎng)度。也就是說(shuō)，長(zhǎng)度是在現(xiàn)實(shí)世界中，一樣能夠量度的重要東西。當(dāng)希臘人接觸長(zhǎng)度時(shí)，他們發(fā)現(xiàn)并非每個(gè)長(zhǎng)度都能以數(shù)呈現(xiàn)出來(lái)。舉例說(shuō)，我們以一個(gè)單位長(zhǎng)度作為一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，這個(gè)正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)度應(yīng)該是一個(gè)數(shù)，而根據(jù)勾股定理，這條對(duì)角線的長(zhǎng)度又應(yīng)該是2的平方根。反過(guò)來(lái)說(shuō)，這個(gè)數(shù)的平方，就是1+1。

2 的平方根這個(gè)數(shù)存在嗎?迄今為止，所有的數(shù)都是整數(shù)或者是分?jǐn)?shù)(例如:)。如果2的平方根這個(gè)數(shù)不是整數(shù)，它會(huì)是一個(gè)分?jǐn)?shù)嗎?很容易就可以證明 2 的平方根又不會(huì)是一個(gè)分?jǐn)?shù)。

我來(lái)給大家做一個(gè)論證:我們用兩個(gè)整數(shù)p、q來(lái)組成一個(gè)分?jǐn)?shù)，這兩個(gè)數(shù)可以約分時(shí)我們先將它們約分，到最后我們可以假設(shè)這兩個(gè)數(shù)不會(huì)都是偶數(shù)。假設(shè)2的平方根=;，將這個(gè)算式平方，可得出，從而得知p是偶數(shù)。然后將p設(shè)為r的2倍，以2r取代p放回算式中，得出，互相再以2相抵，得出q=2r，從這里看，q是個(gè)偶數(shù)。這跟我們上面的假設(shè)又抵觸了，所以又不能將2的平方根這個(gè)數(shù)寫(xiě)成一個(gè)分?jǐn)?shù)。

這是數(shù)學(xué)其中一個(gè)最美的邏輯推論，證明出 2的平方根并不是一個(gè)有理數(shù)。這又會(huì)是個(gè)什么樣的數(shù)呢?這個(gè)數(shù)存在嗎?可以書(shū)寫(xiě)出來(lái)嗎?這是個(gè)吊詭。2的平方根作為這個(gè)長(zhǎng)度的數(shù)確實(shí)存在，但又不能寫(xiě)成那樣，于是我們不得不發(fā)明一些數(shù)來(lái)表述這個(gè)數(shù)，其中一個(gè)方法，就是利用十進(jìn)制，把2的平方根寫(xiě)成 1.4142135623731....。有些非凡的數(shù)學(xué)家能不假思索，就可以把這個(gè)數(shù)的 100 個(gè)小數(shù)位都寫(xiě)出來(lái)，我就做不到，只能自嘆不如。

實(shí)數(shù)的發(fā)明是一大進(jìn)步，但這個(gè)發(fā)明是由量度現(xiàn)實(shí)世界的物件而來(lái)的，因此我們也得建立一個(gè)方法，去處理這問(wèn)題。

數(shù)學(xué)家接下來(lái)要處理的是負(fù)數(shù)。數(shù)可被稱(chēng)作正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)。比如我們?cè)诔咦由希瑥淖笾劣矣浵聰?shù)字，這可稱(chēng)為正數(shù)。若果從反方向，就可稱(chēng)為負(fù)數(shù)。好像升降機(jī)的上，下，或會(huì)計(jì)師做的資產(chǎn)負(fù)債表一樣。這是現(xiàn)實(shí)世界中很重要的東西。所以，負(fù)數(shù)十分重要。再看深入一些，人類(lèi)是如何處理負(fù)數(shù)?如果將1乘以1，你會(huì)得到+1。也就是說(shuō)，如果你并非向前走，而是反方向前進(jìn)，然后再一次倒轉(zhuǎn)方向，你將回到原來(lái)的位置。你可以說(shuō)，數(shù)的發(fā)展是基于經(jīng)驗(yàn)。有如十進(jìn)記數(shù)法一樣，這些都是我們?cè)诹慷染嚯x的長(zhǎng)度當(dāng)中發(fā)明出來(lái)的標(biāo)記方式，去將數(shù)書(shū)寫(xiě)出來(lái);這些經(jīng)驗(yàn)和發(fā)明，就以某種模式緊扣著。這些都是數(shù)學(xué)的初階，且讓我們進(jìn)入更復(fù)雜的領(lǐng)域。

虛數(shù)是人類(lèi)的重要發(fā)明

虛數(shù)的發(fā)明讓數(shù)學(xué)進(jìn)入了新階段了。按照上文所說(shuō)的規(guī)則，當(dāng)一個(gè)數(shù)自乘時(shí)，得其平方時(shí)，這個(gè)數(shù)總是個(gè)正數(shù)。當(dāng)兩個(gè)正數(shù)相乘可得正數(shù)，而負(fù)數(shù)也會(huì)產(chǎn)生正數(shù):所以沒(méi)有任何一個(gè)數(shù)的平方是負(fù)數(shù)。算術(shù)的規(guī)則不允許這樣的數(shù)存在，它不具有任何意義。

但是，如果我們非得要把它寫(xiě)下來(lái)，這個(gè)數(shù)被稱(chēng)為虛數(shù)。數(shù)百年來(lái)，數(shù)學(xué)家不斷爭(zhēng)論，這詭秘的東西能否被書(shū)寫(xiě)呈現(xiàn)，并嚴(yán)謹(jǐn)?shù)丶右詰?yīng)用，到最后又能否應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)世界，大家對(duì)這些問(wèn)題存疑。數(shù)百年來(lái)，這概念都不被接納或被束之高閣。幸而到最后，數(shù)學(xué)家解決了，并接受了虛數(shù)。這是人類(lèi)的發(fā)明，因?yàn)樗淮嬖谟谑篱g，同時(shí)因?yàn)槿祟?lèi)發(fā)現(xiàn)虛數(shù)的定律，在數(shù)學(xué)中很有用處，電子工程師也愿用它，甚至成為量子力學(xué)中一個(gè)重要的根基。

在某程度上，復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)和虛數(shù)的結(jié)合。所以，1的平方根雖然沒(méi)有在現(xiàn)實(shí)環(huán)境中明顯地存在，但它仍很微妙地體現(xiàn)于現(xiàn)實(shí)存在的一些東西里，也暗藏于狹義相對(duì)論中。我可以大膽地說(shuō)，1 的平方根可能是人類(lèi)最偉大的單項(xiàng)知識(shí)發(fā)明。

這是個(gè)很大膽的聲明，有人反對(duì)這種說(shuō)法嗎?大家都同意它不存在，然而，我們能在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中，能得到驚人而豐碩的成果。這是一種巨大的成就，也肯定是人類(lèi)超越性的發(fā)現(xiàn)。我們不能看見(jiàn)虛數(shù)在周遭出現(xiàn)，但我們接觸和應(yīng)用它，從中得到巨大的成就。事實(shí)上，數(shù)學(xué)家花了整整 300 年才做出來(lái)，它不是單個(gè)數(shù)學(xué)家的發(fā)明，而是群策群力創(chuàng)造出來(lái)，是人類(lèi)集體思想的心血，經(jīng)歷了幾百個(gè)寒暑，也難怪當(dāng)時(shí)最偉大的數(shù)學(xué)家，對(duì)此也探索良久，甚至窮一生之力，孜孜不倦為此做出貢獻(xiàn)而無(wú)悔。

我們?cè)倏磾?shù)學(xué)中一些扣人心弦的故事。數(shù)學(xué)中，有一些特定的數(shù)或常數(shù)，被稱(chēng)為宇宙基本常數(shù)，它確實(shí)在數(shù)學(xué)中起了重要的作用。

圓周比率是周期性現(xiàn)象的基本常數(shù)

第一個(gè)——。所有進(jìn)過(guò)學(xué)校的人都會(huì)應(yīng)用過(guò)這一個(gè)圓形的圓周跟直徑比率的數(shù)值。如果你想透過(guò)一個(gè)公式計(jì)算它，你首先要畫(huà)一個(gè)圓，并且在圓里面內(nèi)接一個(gè)多邊形。你可以增加邊的數(shù)目，并量度多邊形的周界，這個(gè)多邊形的周界肯定會(huì)比圓周小。但是如果我們將多邊形的邊的數(shù)量不斷增加，亦即是把這個(gè)多邊形的邊長(zhǎng)不斷的縮短，所得出這個(gè)多邊形的邊長(zhǎng)便會(huì)越來(lái)越接近圓周。如果我們繼續(xù)且不斷重復(fù)上述步驟，我們所得出的這個(gè)圓周與直徑比率的量度結(jié)果將會(huì)愈來(lái)愈接近。希臘人和阿基米德正是由此方法得到很準(zhǔn)確的。所以，是很基本的。當(dāng)然，你也可以認(rèn)為，這只是個(gè)愚笨的幾何學(xué)家才會(huì)做的事。誰(shuí)會(huì)關(guān)心圓周和直徑的比率?但是，事實(shí)上是最基本的常數(shù);它在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中起了一個(gè)舉足輕重的角色。

道理很清楚，因?yàn)榕c一些周期性的現(xiàn)象有關(guān)系，即是任何循環(huán)和重復(fù)的事情，都派上用場(chǎng)。地球和太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)、鐘表上的時(shí)間，任何會(huì)振動(dòng)的事物都有周期性的模式，所有那些對(duì)周期性現(xiàn)象的描述都會(huì)包含基本的常數(shù)。會(huì)在所有數(shù)學(xué)和物理學(xué)的教科書(shū)中的常數(shù)出現(xiàn)，它是你能想出的最通用的數(shù)。也可以說(shuō)，它是人類(lèi)文明其中一塊基石。

指數(shù)函數(shù)e是計(jì)算增長(zhǎng)數(shù)字的基本常數(shù)

另一個(gè)幾乎有同等基礎(chǔ)性，但有一點(diǎn)較難理解的是e，指數(shù)函數(shù)的基數(shù)。e約等于2.718，是2和3之間一個(gè)實(shí)數(shù)。這個(gè)數(shù)的重要性有其基本原因，其一是它跟物種的數(shù)目增長(zhǎng)有關(guān)，包括人、細(xì)菌或動(dòng)物。在任何一代，一個(gè)個(gè)體被取代成兩個(gè)，就好像父母二人共有 4 個(gè)后代。如此，它的數(shù)量就會(huì)倍增，到了下一代又再會(huì)倍增，這快速的增長(zhǎng)稱(chēng)為“指數(shù)增長(zhǎng)”。如果這情況繼續(xù)出現(xiàn)，而且沒(méi)有人死亡，那么沒(méi)多久地球的食物就會(huì)耗盡，炎禍立至。事實(shí)上，這真的值得人類(lèi)警惕，因?yàn)樯蟼€(gè)世紀(jì)的全球人口幾乎是以指數(shù)增長(zhǎng)的。所以，我們面對(duì)的一大難題，是當(dāng)人口超越極限后，我們?nèi)绾尉S生?世界人口現(xiàn)在已逾60億，而且預(yù)計(jì)將會(huì)達(dá)到 90 億，有些甚至預(yù)計(jì)得更多，怎么辦?

這是人類(lèi)人口的問(wèn)題，但是，我們也可以將之套用于小動(dòng)物、或傳播病害的細(xì)菌的問(wèn)題上，他們可以指數(shù)地增長(zhǎng)和傳播病害。

這個(gè)數(shù)學(xué)概念也可以在金融世界中應(yīng)用，而復(fù)合利率的計(jì)算是基于指數(shù)函數(shù)的計(jì)算方式。假設(shè)你有一筆銀行存款，每年結(jié)束時(shí)，銀行經(jīng)理給你一個(gè)額外的比例，例如x，x可以是5%，或者更慷慨地他給你10%的額外款項(xiàng)。如果他們不是每年給你一次，而是每半年一次，即使是同樣一個(gè)按年比率，你都會(huì)獲得更多的款項(xiàng)。因?yàn)樵谇鞍肽昴阋呀?jīng)得到了%的額外款項(xiàng)，下半年的這個(gè)%，是基于本金加上半年已取得利息的總和而計(jì)算，即是在本金加上半年利息之上得到的利息，這種計(jì)算利息的方式稍為復(fù)合利率。假如是每季給你計(jì)算一次又會(huì)是怎樣呢?你將會(huì)得到更多。假如是每天給你計(jì)算一次呢?你將會(huì)得到更加多。假如他們每秒，或每毫秒一次呢?你會(huì)否得到更多，變得更富有?

答案是:這是有上限的。你最多可以得到的是。假設(shè)x是1，就是說(shuō)，你有一名十分慷慨的銀行經(jīng)理，給你百分之百的利息，你最多可以得到多少?答案是，在一年結(jié)束時(shí)你將會(huì)得到本金的2.718倍。假使你在銀行的存款是 100 元，如果銀行給你的年利息是1，按年息計(jì)算，你得到的利息是100元。不管復(fù)式的計(jì)算次數(shù)有多大，你所獲得最大可能的額外利息是 71.8 元。

因此，無(wú)論大家對(duì)錢(qián)、人口還是對(duì)病菌的增長(zhǎng)感興趣，都需要知道指數(shù)函數(shù)。

上文所述的和e是數(shù)學(xué)上的兩個(gè)基本常數(shù)。

最美麗的公式:

在現(xiàn)實(shí)世界同樣也有基本常數(shù)。當(dāng)人們(或智靈生物)在行星之間互相通訊，就如美國(guó)國(guó)家航天局發(fā)射火箭到太空，當(dāng)火箭到達(dá)遙遠(yuǎn)的某處，可能我們會(huì)想傳輸些資訊給其他智慧生物，來(lái)證明我們是聰明的。這樣，我們會(huì)想放些什么在火箭上而令對(duì)方可以了解?其中一樣可放的是某些數(shù)字，因?yàn)槲覀兿嘈牛h(yuǎn)方的文明也會(huì)找到這些常數(shù)。所以，我們可以放上e和。但當(dāng)然我們也可以放物理常數(shù)。假如對(duì)方是不錯(cuò)的物理學(xué)家，他們可能想計(jì)算質(zhì)子質(zhì)量和電子質(zhì)量的比率，或許我們也可以把這些比率放在那些資訊中。但是，數(shù)學(xué)常數(shù)還是比較容易理解的。放一個(gè)正二十面體可能也是個(gè)好提議，來(lái)看看外星人是否知道正二十面體。

事實(shí)上，有很多好東西是在語(yǔ)言以外的，獨(dú)立于我們所認(rèn)識(shí)的語(yǔ)言。但在一個(gè)適合的模式，他們是會(huì)懂得這些數(shù)學(xué)。如果有人問(wèn):在數(shù)學(xué)中，哪一個(gè)公式最美麗?我想所有數(shù)學(xué)家都會(huì)同意，就是以下這一個(gè)公式。

什么是?很簡(jiǎn)單，你可把它代入x+yi，經(jīng)過(guò)運(yùn)算，答案是1。這是在數(shù)學(xué)最奇妙的公式，因?yàn)樵趩我粭l公式中，包括三個(gè)最重要的數(shù)字:1的平方根i、和e。這條令人驚嘆的公式，包含了最基礎(chǔ)的意義。正因如此，它是如此的美妙。同時(shí)，我亦視這公式為數(shù)學(xué)界里，可與文學(xué)界最著名的句子媲美——莎士比亞四大悲劇之一的《哈姆雷特》里“to be,or not to be”。句子簡(jiǎn)短，但是這十分簡(jiǎn)單的句子卻蘊(yùn)含一個(gè)深厚的意義。所以，數(shù)學(xué)家其實(shí)同樣有美的觸覺(jué)。數(shù)學(xué)和藝術(shù)相同，兩者依賴(lài)于同樣的理念，就是既簡(jiǎn)單又深刻。

數(shù)學(xué)對(duì)物理學(xué)的非凡貢獻(xiàn)

接著我們轉(zhuǎn)談幾何學(xué)。幾何學(xué)曾被歐基里德(Euclid)和其他希臘學(xué)者浸淫研究，德國(guó)哲學(xué)家康德對(duì)此也反復(fù)思量。事實(shí)上，幾何學(xué)就是空間，就算我們的腦袋早就決定了空間是怎樣的模樣，但是我們還是用發(fā)展出來(lái)不同的實(shí)驗(yàn)去鉆研它。

在19世紀(jì)時(shí)，醉心于歐氏幾何學(xué)的人，發(fā)現(xiàn)了歐氏幾何以外的幾何學(xué)。我們發(fā)現(xiàn)有一些空間是不符合歐氏定律的，我們稱(chēng)之為非歐幾何學(xué)。從波爾約(Janos Bolyai)、羅巴切夫斯基(Nikolai IvanovichLobachevsky)、高斯(C.FGauss)等數(shù)學(xué)家的研究成果得知，這種幾何學(xué)在某程度上，類(lèi)似歐氏幾何學(xué)，只不過(guò)是空間彎曲了。繼而有德國(guó)數(shù)學(xué)家閔可夫斯基(Hermann Minkowski)，最后愛(ài)因斯坦將之用作時(shí)空的曲度，作為對(duì)重力場(chǎng)的闡釋。這里的萬(wàn)有引力，是建基于于時(shí)空彎曲的想法。然而，當(dāng)中其實(shí)有不只一種幾何學(xué)。

幾何學(xué)不光牽涉平面，也可有彎曲空間，能夠最終引領(lǐng)愛(ài)因斯坦的理論。

我愛(ài)引用物理學(xué)家維格納(Eugene Wigner)在《數(shù)學(xué)在自然科學(xué)中不合理的有效角色>(TheUnreasonable Effectiveness of Mathematics in NaturalSciences)一文中一句話。他指出:在所有不同的方法中，數(shù)學(xué)對(duì)物理學(xué)有著非凡的貢獻(xiàn)。也許你會(huì)奇怪，為何這些比較愚蠢的數(shù)學(xué)家做出來(lái)的數(shù)學(xué)，會(huì)由才智之士的物理學(xué)家所應(yīng)用，但事實(shí)正是如此。那么，我們可能同時(shí)會(huì)問(wèn)一個(gè)相關(guān)的問(wèn)題:數(shù)學(xué)是一個(gè)發(fā)明或者發(fā)現(xiàn)嗎?

如果數(shù)學(xué)是被發(fā)現(xiàn)出來(lái)的，它顯然是源于自然世界;如果是人類(lèi)腦筋所發(fā)明的，為什么它運(yùn)作得如此美好?甚至運(yùn)行得幾乎完美無(wú)瑕?如果你相信神是宇宙的創(chuàng)造者，那就是神造人，他創(chuàng)造宇宙，并且由他建立數(shù)學(xué)的原理。當(dāng)人們開(kāi)始探索世界時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己能以數(shù)學(xué)來(lái)解釋物理學(xué)，洞察世界，揭開(kāi)世界的面紗。

如果你是柏拉圖派，相信柏拉圖，你會(huì)認(rèn)為在物理世界以外還有柏拉圖式概念的世界，而我就是用它來(lái)構(gòu)建物理世界。你也可以是達(dá)爾文派，并且說(shuō)人類(lèi)頭腦的演變是進(jìn)化的結(jié)果。在現(xiàn)實(shí)世界為了生存，人類(lèi)的頭腦不能不駕馭外間的物理定律。否則:我們就不會(huì)被大自然選中，甚至在物競(jìng)天擇中難逃被淘汰的厄運(yùn)。這樣，物競(jìng)天擇就選了符合物理定律的思維。

然而，這種辯解并不能令人信服，但可算是個(gè)好的討論起點(diǎn)。近年來(lái)令人驚奇的一件事情，是不懂?dāng)?shù)學(xué)在物理學(xué)中顯得非常有效，很多從物理學(xué)而來(lái)的成果，在數(shù)學(xué)中也顯得非常有效。甚至當(dāng)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)的工作是風(fēng)馬牛不相及時(shí)也是如此，彼此竟可互相啟發(fā)、互相增益。從今天的物理理論中，我們可找到十分值得注意的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。這個(gè)關(guān)系是雙向的，也令人更難以理解。現(xiàn)代物理學(xué)超越了愛(ài)因斯坦的四維時(shí)空，已走向高維時(shí)空。

人類(lèi)認(rèn)知以外的高維度

如今我們有更高維的幾何學(xué)。在一維空間中，我們有一條直線或者一條曲線，有一個(gè)參數(shù)。在二維空間中，我們有平面或者膜。在三維空間中，我們有空間，很有可能是彎曲了的空間。而在四維空間中，我們有愛(ài)因斯坦常用的空間和時(shí)間。其他更高的維度呢?5，6，7，8，9，10，11 維又如何?在數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)家可以想出任何他們喜歡的東西。因此，為何不能有五維空間?在三維空間的一個(gè)點(diǎn)被指為坐標(biāo)，在五維空間就可以有，毫無(wú)難度，只要將它們放在一起便可。如果你是物理學(xué)家，你能將之想像為自由度，即是有多少個(gè)運(yùn)動(dòng)的方法。1個(gè)粒子有3個(gè)運(yùn)動(dòng)的方法，但當(dāng)2個(gè)粒子獨(dú)立地運(yùn)動(dòng)，它們共有6個(gè)自由度。如果你想要描述2 個(gè)粒子的一個(gè)容器的狀態(tài)，你將要用 6 維空間。所以高維度也占了一席位了。在 19 世紀(jì)，數(shù)學(xué)家開(kāi)始研究它們，但像之前的虛數(shù)一樣，高維度是深?yuàn)W的，并不那么容易為人接受。當(dāng)時(shí)英國(guó)的數(shù)學(xué)家西爾維斯特(Sylvester)，為高維度撰了個(gè)新詞“超乎構(gòu)想”(inconceivable)。因?yàn)樗J(rèn)為，高維超出了人類(lèi)腦袋所能構(gòu)想的。

但西爾維斯特也覺(jué)得這不是一個(gè)問(wèn)題，因?yàn)樗嘈湃魏翁摌?gòu)事物，他相信i，認(rèn)為虛數(shù)有超乎構(gòu)想的維度。遺憾地，這詞沒(méi)有流行過(guò)，這確實(shí)是一個(gè)好的詞，但是事情發(fā)展得太快了，現(xiàn)在物理學(xué)家在接受高維度空間的存在時(shí)，我們沒(méi)有一個(gè)詞能夠表明，它是超出想像的。在現(xiàn)代物理學(xué)里，高能物理學(xué)中的弦論，提出了我們其實(shí)處于高于4 維的空間。這 4維的空間就是時(shí)空，但是，這里也同時(shí)有其他的維度，這共有10或11維度，即是有原來(lái) 4 維空間，和額外的 6 維度。

這些額外的維數(shù)在某程度上，可算是細(xì)小并且緊緊地彎曲的。除非我們有一個(gè)十分強(qiáng)大的放大鏡，否則我們根本就看不見(jiàn)。它就像一條電線一樣，卻有一個(gè)額外的尺寸、厚度。除非我們?cè)陲@微鏡中細(xì)心觀察它，否則只能看見(jiàn)它像一條直的線。想像今天的物理學(xué)。我們需要的放大鏡是一臺(tái)高能加速器。在研究細(xì)小的空間時(shí)，我們需要有高的能量。這就是現(xiàn)代的物理學(xué)的一個(gè)畫(huà)面，它有更高的維度。高維度是你不能以平常方式去看，但可在高能量時(shí)研究它們。

由于巴布森(Babson)，現(xiàn)在我們有間接的證據(jù)去證明這些理論模型，跟實(shí)驗(yàn)結(jié)果是一致的。雖然我們不能直接看見(jiàn)較高的維度，但是我們能間接地探索它們，偵測(cè)到它們的影響。我們可以往后推論這些維度是真實(shí)的存在，因?yàn)檫@跟實(shí)驗(yàn)所得的是一致的。但問(wèn)題始終是:它們是已存在的，抑或是人類(lèi)腦袋創(chuàng)造出來(lái)，借此讓我們?nèi)チ私獯笞匀?我們始終要下一個(gè)定論，假如它是用來(lái)了解大自然，那么，這是數(shù)學(xué)上正確的事。但無(wú)論大自然是否真的如此，或是裝成如此，甚至是我們把它看成如此，統(tǒng)統(tǒng)都不重要，而且這是不能去驗(yàn)證的想法。也就是說(shuō)，在實(shí)驗(yàn)室觀察到的，能否奠下一個(gè)關(guān)于高維的更精細(xì)的圖像，這是我們所不知道的。

現(xiàn)在這個(gè)問(wèn)題愈來(lái)愈無(wú)法回避。今日世界的物理變得更加復(fù)雜，而這類(lèi)高維的、弦論的模型，在近年變得愈來(lái)愈精密，所以它影響的數(shù)學(xué)也愈來(lái)愈廣。然而問(wèn)題是:這世界果真是如此復(fù)雜，抑或只是我們從自己的觀點(diǎn)，把它看得如此復(fù)雜?例如，我們將要到另一行星，遠(yuǎn)方的智靈生物構(gòu)想的東西，跟我們構(gòu)想的是否相同?他們會(huì)否構(gòu)想額外的維，又會(huì)如何去想像它?所以，這是很難去了解我們所建立的數(shù)學(xué)模型，會(huì)否有真實(shí)物理的意義。我在上文簡(jiǎn)略地討論過(guò)達(dá)爾文的推化論及其對(duì)人類(lèi)智慧的構(gòu)成，我想回到這個(gè)問(wèn)題的討論，因?yàn)槿祟?lèi)的腦袋，就是進(jìn)行數(shù)學(xué)探討的地方，當(dāng)我們討論柏拉圖的理想空間時(shí)，哪里才是理想空間?這其實(shí)是在人類(lèi)的集體智慧之內(nèi)。這是概念的住處，除此以外，我們?cè)僬也坏饺魏蔚胤搅恕＜偃缒銓⒏拍罘旁诩埳希埳纤镜牟皇歉拍睿皇莻€(gè)圖片，事實(shí)上，概念是收在人類(lèi)的思想中或者更深處。

抽象概念是數(shù)學(xué)的靈魂

物理學(xué)使用數(shù)學(xué)模型，而數(shù)學(xué)則建立于人類(lèi)腦子中。人類(lèi)的大腦很可能是進(jìn)化出來(lái)的。同時(shí)，進(jìn)化是由物競(jìng)天擇，當(dāng)中基于物理學(xué)和生物化學(xué)而來(lái)。所以某程度上，我們會(huì)見(jiàn)到一個(gè)循環(huán)。因?yàn)橛羞@些物理定律，人類(lèi)的大腦成了這個(gè)模樣;但人類(lèi)的大腦利用數(shù)學(xué)得出物理定律，這倆不斷循環(huán)。我們可以提出一問(wèn)題:我們對(duì)大腦的結(jié)構(gòu)有多少認(rèn)識(shí)?這將會(huì)是下一世紀(jì)的大問(wèn)題。

運(yùn)用先進(jìn)的掃描技術(shù)，神經(jīng)生理學(xué)家已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了很多和大腦有關(guān)的知識(shí)。我們發(fā)現(xiàn)，大腦里面有化學(xué)反應(yīng)和電路，也掌握了掃描的各個(gè)步驟。我們開(kāi)始對(duì)大腦的運(yùn)作有了個(gè)初步的認(rèn)識(shí)，雖然所知不多，但開(kāi)始知道多一些，當(dāng)中包括大腦很可能涉及抽象的運(yùn)算。你可能會(huì)認(rèn)為，大腦處理視覺(jué)等具體的資料時(shí)，它們組織起來(lái)的方法會(huì)涉及抽象的訊號(hào)，變得有如密碼一樣。但是，這些訊號(hào)并非直接反映了某件實(shí)體，而是被編成為一些抽象的密碼。事實(shí)上，數(shù)學(xué)也是建基于抽象概念。究竟人類(lèi)如何獲得這種抽象概念的能力?

數(shù)學(xué)收集了大量的事物。當(dāng)發(fā)現(xiàn)有一些事物是共有的，就追溯并整理出來(lái)，建立出想法和概念，進(jìn)而加以細(xì)心分析。抽象概念就是數(shù)學(xué)的靈魂。單一個(gè)數(shù)學(xué)概念之所以能應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)世界的不同地方，就是因?yàn)槲覀冊(cè)诓煌瑢用鎸?duì)它可以有不同的演繹。與此同時(shí)，抽象概念看來(lái)在某形態(tài)上可以反映大腦的操作，大腦內(nèi)的回路某程度上有著數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)。今天，神經(jīng)生理學(xué)家開(kāi)始以科學(xué)的角度去解答哲學(xué)家過(guò)往提出的老問(wèn)題，還有關(guān)意念和決策的問(wèn)題。以往哲學(xué)家討論的問(wèn)題都是循環(huán)不息的，沒(méi)有確切答案，但現(xiàn)時(shí)我們有了個(gè)切入點(diǎn)，去了解這些問(wèn)題。當(dāng)然，我們得到的也許不是答案，而是產(chǎn)生更多的疑問(wèn)。

討論到這里，讓我作一個(gè)扼要總結(jié)。傳統(tǒng)上，意念跟物質(zhì)是分開(kāi)處理的。意念，是屬于人內(nèi)在的;物體，是屬于外在的。我們的問(wèn)題是，這雙方有什么關(guān)聯(lián)?物質(zhì)果真存在嗎?抑或只是一種想像?意念將物體實(shí)現(xiàn)出來(lái)，抑或體現(xiàn)了其他?這是屬于哲學(xué)家的問(wèn)題。但有一點(diǎn)是很清楚的，數(shù)學(xué)建基在意念之上，而物理學(xué)是研究物體。數(shù)學(xué)和物理之間的問(wèn)題，是意念和物體之間的問(wèn)題的縮小版。然而，數(shù)學(xué)和物理學(xué)的先后關(guān)系是怎樣?

可以說(shuō)，腦子是意念的實(shí)體基礎(chǔ)。意念就是從腦子內(nèi)部結(jié)構(gòu)中，透過(guò)未知的方法浮現(xiàn)出來(lái)，這使我們的問(wèn)題變得不扎實(shí)。腦子當(dāng)然由物質(zhì)組成，它有實(shí)際的成分，腦子是數(shù)學(xué)和物理學(xué)被闡明的地方。當(dāng)我們有數(shù)學(xué)的理論，或有關(guān)于幾何學(xué)的概念，它可能以某種形式記在腦內(nèi);而腦子是現(xiàn)實(shí)世界的一部分，也是其中最重要的核心。哲學(xué)家必須把腦子是否由物質(zhì)所組合，并以某種方式進(jìn)行思考納入討論，否則他們便無(wú)法談?wù)搶?shí)在細(xì)節(jié)，也無(wú)法確定實(shí)在的問(wèn)題。也許這就是困擾人類(lèi)幾千年的真正問(wèn)題所在。

隨著科學(xué)和研究的精進(jìn)，我們未來(lái)將會(huì)知道更多關(guān)于大腦的運(yùn)作，及它和意念的關(guān)系。在某程度上神經(jīng)生理學(xué)的進(jìn)步，可以令有關(guān)數(shù)學(xué)、物理學(xué)和科學(xué)的疑問(wèn)都會(huì)變得更加清晰。

都是以“美”作為選擇的準(zhǔn)則

在總結(jié)時(shí)，讓我用另一個(gè)方法，去回答有關(guān)發(fā)現(xiàn)還是發(fā)明的疑問(wèn)。無(wú)論是在現(xiàn)實(shí)世界或是在理想世界，不論是由意念組成還是由原子組成，都有千千萬(wàn)萬(wàn)個(gè)可能出現(xiàn)的情況。如果我可用符號(hào)的話，我有千千萬(wàn)萬(wàn)個(gè)不同組合的方法。如果是物質(zhì)，我可隨意造出不同分量的物質(zhì)。如果是數(shù)學(xué)符號(hào)，我可以寫(xiě)出很多方程式，有些方程或許是正確的，有些是錯(cuò)的。當(dāng)我們寫(xiě)下一條理論，或當(dāng)數(shù)學(xué)家建立一條理論時(shí)，他會(huì)從一大堆正確的方程式中提煉出一些方程式。他會(huì)選取其中一項(xiàng)去做研究，或者選一項(xiàng)他感興趣的問(wèn)題去攻關(guān)。他的選擇方式和藝術(shù)家或作家選字摘句其實(shí)沒(méi)有兩樣。

假如將猴子放在打字機(jī)前，提供足夠的時(shí)間，它可以寫(xiě)下整套莎士比亞的著作。這當(dāng)然是可能的，但這隨機(jī)過(guò)程需時(shí)很漫長(zhǎng);莎士比亞則是抄了猴子的捷徑，他去“揀選”字詞，從一切自己所知道的文字中，根據(jù)一些準(zhǔn)則選出美妙的字詞;而數(shù)學(xué)家也從應(yīng)該正確的方程中，根據(jù)一些準(zhǔn)則去選擇方程式。物理學(xué)家也用相同的方法做事。他們做出了一切可行的事，然后選擇如何去落實(shí)。我們現(xiàn)在使用的那些準(zhǔn)則，當(dāng)然是決定結(jié)果的基礎(chǔ)。

在某程度上我想說(shuō)，數(shù)學(xué)家和作家的準(zhǔn)則就是美。

請(qǐng)注意:當(dāng)莎士比亞寫(xiě)作時(shí)，他挑選美麗的字詞去撰寫(xiě)。所謂美的文字，“美”涵蓋了意義、聲音、雅致:包括美的各個(gè)方面。數(shù)學(xué)家選擇研究方程式:也因?yàn)樗敲赖摹槭裁此鼈兪敲?因?yàn)橛邢铝羞@些因素:雅致、簡(jiǎn)單、深刻、普遍性。這樣許多事情都與美連上關(guān)系，而正是美這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，使數(shù)學(xué)家從眾多方程中作出選擇。同時(shí)，美也令數(shù)學(xué)家做出正確的選擇。人類(lèi)這種投入和參與，就如發(fā)明的過(guò)程一樣。發(fā)明就是從一切的可能性中選擇你想研究的，一切的可能性就放在眼前。這就是你的發(fā)明。

發(fā)明就是從零去開(kāi)始一件新事物。不論在現(xiàn)實(shí)世界或理想世界，我們都是從一切可能性中，去找某樣具潛質(zhì)發(fā)展的事物。這就是人類(lèi)的活動(dòng)。我們可以從觀念中強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)、藝術(shù)和科學(xué)都是人類(lèi)活動(dòng);而人類(lèi)扮演的角色，是根據(jù)我們決定的準(zhǔn)則作出選擇。而這美的標(biāo)準(zhǔn)包括，簡(jiǎn)單、雅致、意義.....一切一切。科學(xué)就是這么一個(gè)過(guò)程，并成為整個(gè)人類(lèi)知識(shí)架構(gòu)的一部分。我們就是試圖理解外部世界、理解大自然的科學(xué)家。

然而，“理解”也是一個(gè)深?yuàn)W的概念。理解是什么意思?如果你細(xì)心思考，你將發(fā)現(xiàn)你不知道答案。所謂理解，是腦子得到資料后，對(duì)資料著手處理，令它可被理解、有條理等等，這一切全都依賴(lài)腦子如何運(yùn)作。腦子如何理解秩序和結(jié)構(gòu)?它實(shí)際情況如何?我們不知道。作為數(shù)學(xué)家，我想希望用自己的腦子解決問(wèn)題。物理學(xué)家使用他們的腦子解決實(shí)體世界的事情。但是在這之前，必須要有某些東西在他們的腦袋里先行運(yùn)作，因此重要的是，要認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)和所有事情都是人類(lèi)活動(dòng)，都是一種自發(fā)自動(dòng)的過(guò)程。有人說(shuō):如果你有電腦，你就不再需要數(shù)學(xué)家。因?yàn)樗芴幚碣Y料和為你做妥一切事情。但是，所有機(jī)器都要處理成千上萬(wàn)的定理，選擇哪一個(gè)?最終還是需要人類(lèi)去選擇材料、組織，以取得進(jìn)一步的發(fā)展。科學(xué)也是一樣。

所以，到最后，發(fā)明和發(fā)現(xiàn)同時(shí)出現(xiàn)，發(fā)明的部分就是人類(lèi)的貢獻(xiàn)。

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